二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax²+bx+c=0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数。

二次函数图象与x轴的交点的个数由b²-4ac的值来确定，（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，b²-4ac＞0，方程有两个不相等的实根；（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，b²-4ac=0，方程有两个相等的实根；（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，b²-4ac＜0，方程没有实根。

抛物线与直线的交点问题

抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题，我们可以将其延伸到二次函数与一般直线交点问题，要求抛物线与直线交点个数，我们可以联立抛物线和直线得到方程组。然后转化为一元二次方程的解，当方程组有两组不同的解时，两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时，两函数图象只有一个交点；当方程组无解时，两函数图象没有交点。

总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题。求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题。

抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式

当△＞0时，设抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x1、x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，可以根据根与系数的关系推导得到抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式。

抛物线与不等式的关系